Gaussの正規分布の出し方、なんか気持ち悪い (スラド日記 2018-04-13)

http://www-biba.inrialpes.fr/Jaynes/cc07s.pdf からの雑なまとめ。

前提として、1次元の現象を観察しているが、

• 密度関数は、観測値 t と真の値 T との差 t-T の関数。
• 毎回の観測は、独立。
• Tの推定値でいちばんもっともらしいのは、観測値の平均。

密度関数を f(t-T)として、3回(一般のn回の方がいいけど手抜きで)観測する。

観測値を変数 x, y, z とすると dx dy dz のところの確率は、 1番・2番から f(x-T)f(y-T)f(z-T)dx dy dz.

P=f(x-T)f(y-T)g(z-T)として、x, y, z を未知の定数とみなし、Tを変数とみなす。 面倒なので対数をとると、log P = log f(x-T) + log f(y-T) + log f(z-T).

これを T で微分すると (log P)' = - f'(x-T)/f(x-T) - f'(y-T)/f(y-T) - f'(z-T)/f(z-T).

3番から Pが最大になるのは、T=(x+y+z)/3 のときなので、 (log P)'|[T=(x+y+z)/3] = 0.

X=x-(x+y+z)/3X, Y=y-(x+y+z)/3, Z=z-(x+y+z)/3とおきなおすと、X+Y+Z=0で、 0= f'(X)/f(X) + f'(Y)/f(Y) + f'(Z)/f(Z). 簡単にするために g(t) = f'(t)/f(t) とおくと、g(X)+g(Y)+g(Z)=0.

これが任意の定数 K について、X+Y=K のときでも成立するので、 g(X)+g(K-X)+g(-K)=0. さらに X で微分して、g'(X)-g'(K-X)=0. X=0を代入して整理すると、 g'(K)=g'(0).

g'(0)=-aとおくと、Kは任意の定数なので、g'(t)=-a. 積分して、g(t)=-at+b. X=Y=Z=0ときから b=0 で、g(t)=-at.

ということは、f'(t)/f(t) = -at であとは微分方程式を解いて、 おしまい。

;; というのをさっき書き込んだ気がしたが、ないなあ。 ぼけてるなあ。

Herschel の正規分布の出し方すごい (スラド日記 2018-04-12)

http://www-biba.inrialpes.fr/Jaynes/cc07s.pdf

からの 雑なまとめ。

星の位置の観測のつもり。前提として:

• 縦方向と横方向は独立。
• 縦方向も横方向もある点から+向きと-向きは対称。
• 実は、その点まわりで360度どの方向でも同じ。

密度関数をφ(x)とする。 2番目から x^2 でも書けるはずで、f(x^2)=φ(x)とおく。

そうすると、1番目から、dxdy の微小な部分の確率は f(x^2)f(y^2)dxdy.

2番目、3番目から極座標表示で、g(r^2) rdrdθとかけるはず。

r^2 = x^2 + y^2 だから、f(x^2)f(y^2) = g(x^2+y^2).

y=0 とすると、f(x^2)f(0)=g(x^2). h(x^2)=f(x^2)/f(0)とおくと、 h(x^2)h(y^2) = h(x^2+y^2) で、h(t) は指数関数。

h(x^2) = e^(-ax^2) となり、φ(x)にもどして全区間で積分してやると 1 なので

φ(x) = √(a/π)e^(-ax^2).

質量とエントロピーに関する小針予想 (スラド日記 2016-12-26)

小針先生が『確率・統計入門』(岩波書店、1973)で、 正規分布をフーリエ変換すると分散が逆数の正規分布になるから、 質量密度と確率密度は相等で、 質量はエントロピーと等価のはずだ、 と ヨタを書いていた。

思いついたけど使いどころがない雑な正規分布の出し方( スラド日記 2017-01-08)

二項分布の極限の1つが正規分布だけど、 それのとても雑な出し方。 たぶん同案はアチコチにあるはず。

nCr*p^r*q^(n-r) = p_rとして、

p_r/p_{r-1} = (n-r+1)p/(rq).

この式はPoisson分布を出すときに使うこと (rが有限でnp=λのままn→∞ならλ/r) があるけど、 変形すると、

p_r/p_{r-1} = 1-(r-np-p)/(rq).

左辺の対数をとると、log p_r - log_{r-1}=Δ(log p).

また、(r-np)/√(npq) = t とおくと、rを1つずらすと Δt = 1/√(npq) なので、

右辺 = 1 - (t-pΔt)/(1+tqΔt)*Δt.

hが小さいと log(1+h)〜h なので、tが有限の数を維持したままで、 n→∞のときΔt→0だから

Δ(log p) 〜 -tΔt

となり、次の微分方程式を満たす(はず)。

d (log p) = -tdt.

この微分方程式を解くと

log p = (-1/2)*t^2+定数.

つまり、

p = (別の定数)*exp((-1/2)*t^2).

全区間で積分すると1となるはずで、それから定数を決めると

p=1/√(2π)*exp((-1/2)*t^2).

雑なので、良い子は真似しちゃダメ。

『ぼくたちの哲学教室』

McGrath, Declan, & Neasa Ní Chianáin (dirs.). 2021. Young Plato. Hanne Phlypo, Clin d’oeil films et al. https://eiga.com/movie/99066/

北アイルランドの小学校における、哲学の手法による、暴力的な文化の継承を止める試み。

プラトンなのか? 対話=弁証法ということではそうなのかもしれないけど、内容はどちらかというとストア派のような気がする。

Le petit Nicolas: Qu'est-ce qu'on attend pour etre heureux?

Fredon, Amandine, & Massoubre, Benjamin, (dirs.). 2022. Le petit Nicolas: Qu'est-ce qu'on attend pour etre heureux? On Classics Bidibul Productions. https://eiga.com/movie/99034/

フランス(語圏)の子ども向けストーリ/絵本/マンガとして知られる『プチ・ニコラ』シリーズの原作者R. Goscinny と漫画家 J.-J. Sempé がニコラを作っていく過程を、 Sempé側の視点から主人公の Nicolas と一緒に語らせるアニメ。

学生の頃に読もうとして、フランスの土地勘もフランス語の力も足りなくてよく分からなかった Le petit Nicolas って、こんな感じの作品だったのか。 主眼とは違うだろうけど、Nicolasが享受できたフランスの高度成長期前半における都市周辺の中流住宅地の生活を知るにはいいのではないかと思う。

『妖怪の孫』

内山雄人 (dir.) 2023. 『妖怪の孫』 スターサンズ. https://movies.yahoo.co.jp/movie/386767/

安倍晋三・安倍政権を題材としたドキュメンタリーで、国会で嘘つきまくり、身内に利益誘導をし、反社とつきあいがあり、官僚に圧力をかけた、というようなウォッチャーならば知ってる話が、ほとんど。

できれば各省の審議会から実質的な権限を奪って、官邸の会議に移し、 そこに「少数説」の研究者を入れたことも観せて欲しかった。 この「少数説」の研究者たちの考えを地方の首長や議員にレクチャーしてまわったり、 「市民運動」としてあれこれしたりしたのが、旧統一教会と日本会議(というより事務局にいる生長の家本流運動こと、学生運動が盛んだった頃に白色テロをやっていた人たちの系列)なので。