Gaussの正規分布の出し方、なんか気持ち悪い (スラド日記 2018-04-13)

http://www-biba.inrialpes.fr/Jaynes/cc07s.pdf からの雑なまとめ。

前提として、1次元の現象を観察しているが、

• 密度関数は、観測値 t と真の値 T との差 t-T の関数。
• 毎回の観測は、独立。
• Tの推定値でいちばんもっともらしいのは、観測値の平均。

密度関数を f(t-T)として、3回(一般のn回の方がいいけど手抜きで)観測する。

観測値を変数 x, y, z とすると dx dy dz のところの確率は、 1番・2番から f(x-T)f(y-T)f(z-T)dx dy dz.

P=f(x-T)f(y-T)g(z-T)として、x, y, z を未知の定数とみなし、Tを変数とみなす。 面倒なので対数をとると、log P = log f(x-T) + log f(y-T) + log f(z-T).

これを T で微分すると (log P)' = - f'(x-T)/f(x-T) - f'(y-T)/f(y-T) - f'(z-T)/f(z-T).

3番から Pが最大になるのは、T=(x+y+z)/3 のときなので、 (log P)'|[T=(x+y+z)/3] = 0.

X=x-(x+y+z)/3X, Y=y-(x+y+z)/3, Z=z-(x+y+z)/3とおきなおすと、X+Y+Z=0で、 0= f'(X)/f(X) + f'(Y)/f(Y) + f'(Z)/f(Z). 簡単にするために g(t) = f'(t)/f(t) とおくと、g(X)+g(Y)+g(Z)=0.

これが任意の定数 K について、X+Y=K のときでも成立するので、 g(X)+g(K-X)+g(-K)=0. さらに X で微分して、g'(X)-g'(K-X)=0. X=0を代入して整理すると、 g'(K)=g'(0).

g'(0)=-aとおくと、Kは任意の定数なので、g'(t)=-a. 積分して、g(t)=-at+b. X=Y=Z=0ときから b=0 で、g(t)=-at.

ということは、f'(t)/f(t) = -at であとは微分方程式を解いて、 おしまい。

;; というのをさっき書き込んだ気がしたが、ないなあ。 ぼけてるなあ。