念のために2つの封筒問題を数式で説明しなおしておく (2016-11-27)

 2つの封筒問題の日記 を念のためにもう少し丁寧に説明しなおしておく (深くなると、あとで思い出して検索するとき、めんどいねん)。 ついでだが、そこに貼っておいた Google Appsの表計算によるシミュレーション(手抜き)。

2つのパターンがある。上がオリジナルの未開封型。下が開封型。

• 2つの区別できない封筒があり、片方にはもう片方の倍の金額が入っている。 開封前に一度だけ交換できる約束のとき、交換した方が得か。
• 2つの区別できない封筒があり、片方にはもう片方の倍の金額が入っている。 開封後に一度だけ交換できる約束のとき、X円入っていた。交換した方が得か。

未開封型から説明しておく。 なお、説明の流れの都合上、計算を最適化していない。

胴元が入れる金額が x円である確率を p(x)とする。

選んだ封筒にX円が入っているとき、交換したばあいの得の期待値は、 ((X/2-X)p(3X/2)+(2X-X)p(3X))/(p(3X/2)+p(3X)) =(-(X/2)p(3X/2)+Xp(3X))/(p(3X/2)+p(3X))。...... (*)

X/2円か2X円の2択なので等確率と素朴に思ってしまう人がいるが、 それはp(3X/2)=p(3X) ということなので、期待値 +X/4 になってしまう。 そこで、交換した方が得と考えてしまう。これが、最初の引っ掛けである。

しかし、実際には確率関数 p(x)が未知なので、 これの正負は不明である。

封筒のX円は仮だったので、得の期待値はこれの平均を取ることになる。

Σ(p(3X/2)+p(3X))/2 * (-(X/2)p(3X/2)+Xp(3X))/(p(3X/2)+p(3X)) = Σ(-(X/2)p(3X/2)+Xp(3X))/2 = Σ(-Yp(3Y)+Xp(3X))/2 (ただし、Y=X/2)。

前項と後項が順番が変わるけどキャンセルしてなくなるか、 p(x)がもともと0なので、 任意の確率分布において、 期待値は0円となる。

これの意味するところは、 胴元がケチでもお大尽でも無関係に、得の期待値が0円ということである。 ケチ、お大尽、みんな均した結果で期待値が0円になるのではないことに 注意されたい。

次に、開封型である。

開封してX円のばあいに交換したときの得の期待値は、 すでに計算ずみの (*) である。

つまり、p(x)が不明なので、数学的にはこれ以上どうしようもない、不定の問題になる。

胴元がケチで p(3X)=0 と知っていれば、期待値は -X/2だし、 お大尽でp(3X/2)=0 と知っていれば、期待値は X。 コイントスで 3Xか3X/2かを決めているのを 知っていれば、期待値は +X/4。 だけれども、p(x) が分からないので、 如何ともしがたい。

なお、ざっくりと検索した範囲で、 開封型をいちばんきちんと説明しているのは、 西三サークルにある瀬山士郎先生の解説である。

あとは、愚痴。

このばあいに、 p(3X/2)=p(3X)と思い込んだ 解説がいくつかある。 校閲を潜り抜けて出版もされているらしい。 論理が成立していないので意味不明となり推測するしかないのであるが、 どうも胴元がケチ、お大尽、あれこれのばあいを均すことができると 考えているのものもあるようだ。 その結果を半々と考えてしまうのは、バイアスのせいとはいえ、うーん。 もちろん、経験的なデータが必要なので、 数学だけでは、そこまで行くことはできない。 仮にできたとしても(*)に均した確率を入れられるとは限らないのだけど。

さらに任意のX で p(3X/2)=p(3X) だと、 「範囲のない一様分布」という怪物を呼びこむことも理解できてない模様。 逆にこれから問題が成立していないという論法のもあって、 どうしたものなのだろう。

つか、開けて金額を確認するだけで、 それが任意の値でも期待値が25%増えるから交換する予定なら、 いつでも交換なので、 最初から別の方を選べばいいよね。 現実的に可能な分布だと、 金額が増えてくると確率減るので、胴元と読みあいだ、 みたいな方向になるはずなのに。

意志決定論の話にしたいにしても、のっけの確率の初歩が何だと何だよねえ。