手抜きで、指数分布からポアソン分布へ (スラド日記 2018-05-06)

 Erlang 分布が要る。 これは、同じパラメタの指数分布の確率変数の和の分布。 分布関数を次のように予測。

f(t; n) = λ^n t^(n-1) / (n-1)! * exp(-λt).

f(t; 1) = λexp(-λt) なので、指数分布1個だけのときは大丈夫。

折り畳みで、 f(t; n)=∫(0, t) λ^(n-1) x^(n-2) / (n-2)! * exp(-λx) * λexp(-λ(t-x))dx =∫(0, t) λ^n x^(n-2) / (n-2)! * exp(-λ) dx
=[λ^n x^(n-1) / (n-1)! * exp(-λ)]₀ ^t
=λ^n t^(n-1) / (n-1)! * exp(-λt).

数学的帰納法から一般に大丈夫。

上側累積確率を G(t; n) とすると、

G(t; n)=∫(t, ∞) λ^n x^(n-1) / (n-1)! * exp(-λx) dx
=∫(t, ∞) λ^(n-1) x^(n-1) / (n-1)! * {- exp(-λx)}' dx
=[λ^(n-1) x^(n-1) / (n-1)! * {- exp(-λx)}]_t ^∞ +∫(t, ∞) λ^(n-1) x^(n-2) / (n-2)! * exp(-λx) dx.

つまり、G(t; n) = λ^(n-1)t^(n-1) / (n-1)! * exp(-λt) + G(t; n-1).

t=1 で, nを1つ増やして、 G(1; n+1) = λ^n / n! * exp(-λ) + G(1; n). ついでに、G(1; 1) = λ^0 / 0! exp(-λ).

G(1; 1) は、1回目が起こるのが t≧1のとき、つまり、0<t<1 で0回のとき。 このときは、ポワソン分布の確率関数で大丈夫。

G(1; 2)は、2回目が起こるのが t≧1のときだけど、この中には、 1回目が起こるのがt≧1のときも含まれるので、 G(1; 2)-G(1; 1)を考えると、0<t<1 で1回のときになる。

同じようにして、G(1; n+1)-G(1; n)が 0<t<1 でn回のときで、 その確率は λ^n / n! * exp(-λ) で、ポアソン分布のになっている。