出オチで、ポアソン分布から指数分布 (スラド日記 2018-05-06)

 1単位時間あたりに平均でλ回起こる稀な現象が、 1単位時間あたり r 回起こる確率が、

P(r; λ) = λ^r / r! * exp(-λ).

ということは、t単位時間あたりの平均回数が λt 回になるから、
P(r; λt) = (λt)^r / r! * exp (-λt).

なので、P(0; λt)=exp(-λt).

これが、時刻が t 以上のときに初めて起こる確率でもある。

時刻が 0 から t までに起こる確率を F(t) とすると、
F(t) = 1 - exp(-λt).

そういう分布の密度関数は f(t) = F'(t) = λexp(-λt).

ということで、回数がポアソン分布なら最初に起きるまでの時間は指数分布。

ポアソン分布の再生性から、間の時間も指数分布。

逆方向を示すのはアーラン分布を経由するので、もうちょい長いはず。