いやー、確率って分かんないもんですね (スラド日記 2009-11-26)

 某氏のブログのコメント欄でモンティ・ホール問題について 若干粘着している人がいる。 ちゃんと対応している某氏はえらい。 仕事ができる人ってやっぱり人間に対応する能力があるなあ。 ってのはおいといて、こういう問題。

1. 3つドアがあり、等確率でそのうちの 1つの後ろに景品を置く。
2. プレーヤーがドアを選ぶ。
3. ホストは、そのドアがアタリなら 2つのハズレのドアから等確率で 1つ選んで 開け、ハズレならもう 1つのハズレのドアを開ける。
4. プレーヤーは、この時点で変更する権利がある。

ドア 3つを A, B, C とする。 プレーヤーが A を選んで、ホストが開けてない状態だと、 A がアタリの確率は 1/3 で、B か C がアタリの確率は 2/3。 ここでホストが B を開けるとする。A がアタリの確率は変化しない。 C がアタリの確率は B の分ももらうから、2/3。 だから、変更した方が得。

ところで、ホストが開ける前に偶然 B が開いてしまって それがハズレの場合はどうなるだろう。 B の分の確率は A と C に等しく配分されるので、A と C はともに 1/2。 どっちでもいい。

;; 非常に手抜きの説明なので、 気になる人は条件付き確率で地道に計算してください。 後段は、どのドアが開くかの確率を適当に決めても大丈夫なんで、 1/3 ずつだと楽かな。 それから受験数学の格言「確率は時間を超越する」を忘れずに。

;; 計算しても納得しない人はなぜ強調されている 部分があるのかを考えて、それでも納得しない場合は、 丁寧に対応してくれそうな人がいそうな数学掲示版を探してください。 某氏が誰か推定しておしかけるのは迷惑なのでやめましょう。

ヒトの頭はバギーなので、 意図的にハズレと知っていて B を開けたときの C がアタリの確率と、 たまたま B を開けたらハズレだったときの C がアタリの確率が ちがうことに違和感を感じる人が結構いるらしい。

で、3 のところでプレーヤーが意識が朦朧として気付いたときには、 B が開いていてハズレだった。 会場がざわめいているのは AD が転けて B を開けちゃったせいなのか、 プレーヤー自身が倒れたせいなのか分からない。 このとき C がアタリの確率はどうなるのか。 傍の人は 2/3 か 1/2 か決められるけど、 プレーヤー本人は決められないとするのが古典的。 けど、人間はこの状態で確率を推定しないといけないこと多いよね っていうのは別の話。