意識が朦朧としてるから、拡散方程式から正規分布を出す (スラド日記 2018-04-25)

 ; 書類が……、というより、その前の調整でガリガリと……。

∂u/∂t = D ∂^2u/∂x^2, u(0, x)=0 when x!=0, ∫(-∞,∞)u(0,x)dx = 1 っていうのを解きたい。

要するにフーリエ変換するのだけど、 u≈Σ(k=-∞,∞)exp(i 2πk/T x)φ(t, 2πk/T) * 2π/T * 1/2π と書いてみる。

x で微分すると、 ∂u/∂x≈Σ(k=-∞,∞)(i 2πk/T)exp(i 2πk/T x)φ(t, 2πk/T) * 2π/T * 1/2π.

もう1度 x で微分すると、 ∂^2u/∂x^2≈Σ(k=-∞,∞)-(2πk/T)^2exp(i 2πk/T x)φ(t, 2πk/T) * 2π/T * 1/2π.

t で微分すると、 ∂u/∂t≈Σ(k=-∞,∞)(i 2πk/T)exp(i 2πk/T x)∂φ(t, 2πk/T)/∂t * 2π/T * 1/2π.

微分方程式から、∂φ(t, 2πk/T)/∂t ≈ - D(2πk/T)^2 * φ(t, 2πk/T).

2πk/T=ωとして、T→∞にすると∂φ(t, ω)/∂t = - Dω^2 * φ(t, ω).

ところで、のっけの式を t=0のところで、-T/2からT/2まで∫すると、 ∫(-T/2, T/2) u(0, x)dx ≈ φ(0, 0).

ということで、初期条件から、φ(0, 0)=1 なので、φ(t, ω)=exp(- Dω^2 t).

のっけの式に入れて、T→∞にすると、 u= 1/(2π) ∫(-∞,∞) exp(i ω x)exp(- Dω^2 t) dω.

あとは指数部分を平方完成して、地道に計算すると u = 1/(√(2π)√(2Dt)) * exp(- x^2 / (2 * 2Dt)).

ということで、分散 2Dt の正規分布.

とりあえず、正規分布の出し方でメジャーなやつは説明したはず。 次からストレスで何な状態になったら、何を書くのだろう……。