Adrainの正規分布の出し方、無茶だぜい (スラド日記 2018-04-15)

Robert Adrain https://en.wikipedia.org/wiki/Robert_Adrain 最小二乗法の人。 Gaussの導出より早いらしい。 元論文を誰かが打ち直したもの https://pdfs.semanticscholar.org/1900/ca31f56572c7fc588462c3fb5e10789e0ea5.pdf

雑なまとめ。棒の長さを測るつもり。 真の長さA、測定値a で誤差はα=a-A。 この棒のまっすぐ別の棒を繋いで、 2本目の棒でも真の長さB、測定値b で誤差はβ=b-B。 前提は:

• 誤差の密度関数は「相似」で 1/a*f(α/a)と1/b*f(β/b)。
• 誤差の合計がεのとき、ε=α+βで、このとき いちばんもっともらしいのは a:b=α:βのときのはず。
• こういう関数で一番簡単なのが欲しい。

P=1/a*f(α/a)と1/b*f(β/b)を最大にするけど、対数をとって、楽をする。 log P = log f(α/a) + log f(β/b) - log ab。 これを何かで微分して、 (log P)' = f'(α/a)/f(α/a) * α'/a + f'(β/b)/f(β/b) * β'/b.

最大になるときなので、ε=α+βから 0=α'+β' で (log P)' = 0。

そこから整理すると、f'(α/a)/f(α/a) /a = f'(β/b)/f(β/b) /b。

つまり、a:b = f'(α/a)/f(α/a) : f'(β/b)/f(β/b)。

a:b=α:βでもあるから、f'(α/a)/f(α/a) : f'(β/b)/f(β/b)=α:β。

そこで、何か定数 k があって、f'(α/a)/f(α/a)=kα, f'(β/b)/f(β/b)=kβ.

もう少し変形して、f'(α/a)/f(α/a)/a=kα/a, f'(β/b)/f(β/b)/b=kβ/b.

これらをみたす簡単な関係は (log f(t))'=kt で、これが微分方程式。