Herschel の正規分布の出し方すごい (スラド日記 2018-04-12)

http://www-biba.inrialpes.fr/Jaynes/cc07s.pdf

からの 雑なまとめ。

星の位置の観測のつもり。前提として:

• 縦方向と横方向は独立。
• 縦方向も横方向もある点から+向きと-向きは対称。
• 実は、その点まわりで360度どの方向でも同じ。

密度関数をφ(x)とする。 2番目から x^2 でも書けるはずで、f(x^2)=φ(x)とおく。

そうすると、1番目から、dxdy の微小な部分の確率は f(x^2)f(y^2)dxdy.

2番目、3番目から極座標表示で、g(r^2) rdrdθとかけるはず。

r^2 = x^2 + y^2 だから、f(x^2)f(y^2) = g(x^2+y^2).

y=0 とすると、f(x^2)f(0)=g(x^2). h(x^2)=f(x^2)/f(0)とおくと、 h(x^2)h(y^2) = h(x^2+y^2) で、h(t) は指数関数。

h(x^2) = e^(-ax^2) となり、φ(x)にもどして全区間で積分してやると 1 なので

φ(x) = √(a/π)e^(-ax^2).