思いついたけど使いどころがない雑な正規分布の出し方( スラド日記 2017-01-08)

二項分布の極限の1つが正規分布だけど、 それのとても雑な出し方。 たぶん同案はアチコチにあるはず。

nCr*p^r*q^(n-r) = p_rとして、

p_r/p_{r-1} = (n-r+1)p/(rq).

この式はPoisson分布を出すときに使うこと (rが有限でnp=λのままn→∞ならλ/r) があるけど、 変形すると、

p_r/p_{r-1} = 1-(r-np-p)/(rq).

左辺の対数をとると、log p_r - log_{r-1}=Δ(log p).

また、(r-np)/√(npq) = t とおくと、rを1つずらすと Δt = 1/√(npq) なので、

右辺 = 1 - (t-pΔt)/(1+tqΔt)*Δt.

hが小さいと log(1+h)〜h なので、tが有限の数を維持したままで、 n→∞のときΔt→0だから

Δ(log p) 〜 -tΔt

となり、次の微分方程式を満たす(はず)。

d (log p) = -tdt.

この微分方程式を解くと

log p = (-1/2)*t^2+定数.

つまり、

p = (別の定数)*exp((-1/2)*t^2).

全区間で積分すると1となるはずで、それから定数を決めると

p=1/√(2π)*exp((-1/2)*t^2).

雑なので、良い子は真似しちゃダメ。