意識が茫洋とするので、ポアソン分布から雑に正規分布を出す(スラド日記 2018-05-02)

P(r)=λ^r * e^(-λ) / r! なので、 P(r-1) / P(r) = r / λ.

ポアソン分布は平均λ、分散λなので、t=(r-λ)/√λ と置き換える ことにする。 また、ΔP=P(r)-P(r-1) とする。このとき r = λ(1+t/√λ).

そうすると r を1だけ変えたとき、Δr = 1/√λ.

ということで、1- ΔP / P = 1+ tΔt. つまり、ΔP / P = - tΔt.

dP / P = -t dt という微分方程式を解いて、 ガウス積分で定数を決めてやれば、おしまい。